数学2.1(3)：直线与圆的位置关系 | 简略解析

两点：$|b|<3\sqrt5$；一点：$|b|=3\sqrt5$；零点：$|b|>3\sqrt5$。比较 $d=|b|/\sqrt5$ 与 $r=3$。

$4\sqrt5$。圆心 $(3,1)$、$r=5,d=\sqrt5$，弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$。

$x=-3$ 或 $3x+4y+15=0$。弦心距为 $\sqrt{25-16}=3$，并单独检查竖直线。

$(x-1)^2+(y+3)^2=10$，且 $x^2+y^2<16$。由 $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{MC}=0$，并要求弦长大于零。

(1) 直线恒过圆内点 $(3,1)$，故恒交两点；(2) 最短弦对应直线 $2x-y-5=0$（$m=-3/4$），弦长 $4\sqrt5$。此时直线垂直于圆心与定点连线。

$\sqrt2$，由 $d=1/\sqrt2$ 及 $L=2\sqrt{1-d^2}$。

$b=\pm3\sqrt2$；$b^2/2=25-4^2=9$。

$(x-3)^2+(y-4)^2=25$，且 $x^2+y^2<16$；利用圆心到弦中点的垂直关系。

(1) $-2<a<2$；(2) $a<-2$ 或 $a>2$；(3) $a=\pm2$。

$0<k<\frac43$。

$x+y-2=0$ 或 $7x+17y+26=0$。

$x^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac14$，去掉 $(0,0),(0,1)$。由垂直关系得圆；$k=0$ 为切线，竖直割线不属于该直线族。

$m=\pm\frac{\sqrt6}{3}$，由 $m^2+\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^2=2$。

D

D

C

$3x+4y+20=0$ 或 $3x+4y-10=0$。圆心 $(1,-2)$、半径 $5$，所求弦心距为 $3$。

$(x-3)^2+(y-1)^2=9$ 或 $(x+3)^2+(y+1)^2=9$。设圆心 $(3t,t)$，由 $9t^2-2t^2=7$ 得 $t=\pm1$。

存在：$y=x+1$ 或 $y=x-4$。设 $y=x+b$，由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ 得 $b^2+3b-4=0$，两者均为割线。

恒过圆内点 $(3,1)$，故总有两个交点。最短弦对应 $2x-y-5=0$，弦长 $4\sqrt5$。