数学2.1(4)：直线与圆相切的关系 | 简略解析

$(x+1)^2+(y-2)^2=13$；半径等于圆心到直线的距离。

$x=2$ 或 $x-\sqrt3y+4=0$；令圆心到直线的距离为 $2$，另查竖直线。

$x_0x+y_0y=r^2$。切线的法向量为半径向量 $(x_0,y_0)$。

$(x-3)^2+(y-1)^2=9$ 或 $(x+3)^2+(y+1)^2=9$。设圆心 $(3t,t)$，由半弦长公式得 $7t^2=7$。

两解：$\frac{\sqrt5}{2}<|k|\le\frac32$；一解：$|k|=\frac{\sqrt5}{2}$ 或 $|k|>\frac32$；无解：$|k|<\frac{\sqrt5}{2}$。比较直线与上半圆的相切位置及端点位置。

过 $A$：$x+\sqrt3y=4$；过 $B$：$x=2$ 或 $5x-12y+26=0$。分别用圆上点切线公式及距离等于半径。

$(x-1)^2+(y-2)^2=25$；$r=|4+6-35|/5=5$。

$-3x+4y=25$。

$x=5$；$y=-5$。

$x=2$；$3x-4y+10=0$。

$(x-\frac{24}{5})^2+(y+\frac{18}{5})^2=1$。

(1) $a^2+b^2=r^2$；(2) $b=0$；(3) $|b|=r$；(4) $|a|=|b|=r$。

C

$(x-5)^2+(y-4)^2=25$。设圆心 $(a,4)$，由 $a^2=4^2+3^2$ 且 $a>0$ 得 $a=5$。

$(x-1)^2+(y+2)^2=2$ 或 $(x-9)^2+(y+18)^2=338$。设圆心 $(a,-2a)$，令两种半径表达式相等得 $(a-1)(a-9)=0$。

$a\Rightarrow3$；$b\Rightarrow1$；$c\Rightarrow2$。

入射线为 $4x+3y+3=0$ 或 $3x+4y-3=0$。将光源镜像到 $(-3,-3)$，求切线斜率 $4/3,3/4$，再反射回去。

(1) $(x-1)(y-1)=\tfrac12$，$x>1,y>1$；(2) $S_{\min}=3+2\sqrt2$。设截距 $a,b$，相切且圆心在线下给出 $ab-2a-2b+2=0$，再用 $(x-1)+(y-1)\ge\sqrt2$。

$1\le m<\sqrt2$。一端界来自半圆端点，另一端界为相切。

$\frac5{12}<k\le\frac34$。切线斜率为 $5/12$，过左端点的斜率为 $3/4$。

$a=0$：$(x-4)^2+(y-\tfrac{17}{2})^2=\tfrac{289}{4}$；$a=1$：$(x-2)^2+(y-\tfrac52)^2=\tfrac{25}{4}$。设圆心 $(h,(h^2+1)/2)$，另一点给出 $(1-a)h^2-8h+16+a^2-a=0$；分别检查二次方程重根及退化为一次方程的情况。