数学周末卷1：直线与圆 | 简略解析

$(x-2)^2+(y+1)^2=25$。

$\frac{13}{10}$。

$\pi-\arctan\frac12$。

$a=-3,-5$。

$x+y=2$；$y=x$。

$4x+y-6=0$；$3x+2y-7=0$。

$(x-\tfrac32)^2+y^2=\tfrac14$。

$\theta=\arccos\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$。

$a\in[0,10]$。

$a\in\mathbb R\setminus\{-2,-1,1\}$。

$m=-\frac43$。

$7$。

B

C

A

A

相交：$|m|>2\sqrt2$；相切：$|m|=2\sqrt2$；相离：$|m|<2\sqrt2$。圆心 $(3,0)$、半径 $2$，比较 $6/\sqrt{1+m^2}$ 与 $2$。

$l_2:4x-3y+3=0$ 或 $3x-4y-3=0$。第二条过镜像点 $(-3,-3)$，再用点到直线距离公式。

$N(7,0),Q(3,4)$。中心对称用 $N=2F-M$，轴对称沿法向量计算。

不相同。平方和在 $P(\frac{19}{10},\frac65)$ 最小，是 $MR$ 中点到直线的垂足；距离和在 $P(\frac74,\frac32)$ 最小，是 $RQ$ 与直线的交点。

$(x-3)^2+(y-3)^2=10$。垂直平分线为 $y=x$，故圆心 $(3,3)$。

反射线为 $7x-4y-9=0$。它连接镜像光源 $(-1,-4)$ 与圆心 $(3,3)$。

$x-y+4=0$；斜率为 $1$。

$d=\frac{2\sqrt2}{n}$；$l_i:x-y+4\pm\frac{4i}{n}=0$，其中 $i=n$ 必取减号。原题未规定其他直线位于哪一侧，故其他序号可分别取两种符号。

不存在。截距给出 $k_{n+1}=k_n-1/k_n$，同号要求 $k_n^2>1$；于是 $k_{n+1}^2=k_n^2-2+1/k_n^2<k_n^2-1$，不可能无限保持大于 $1$。