2.1(5)：圆与圆的位置关系 | 简略解析

相交。圆心距 $\sqrt5$，两半径为 $1,2$，满足 $1<\sqrt5<3$。

$a\in[1,121]$。后一圆圆心距原点 $5$、半径 $6$，到原点距离范围为 $[1,11]$。

圆心 $(2,-3),(3,-2)$，半径 $2\sqrt2,\sqrt2$；圆心距等于半径差，故内切。切点为 $(4,-1)$。

(1) 相交，公共弦在 $x-y+4=0$ 上，长 $5\sqrt2$；(2) $x^2+y^2+3x+3y-16=0$。相减求公共弦，取两圆方程平均得到所求圆。

内切：$m=7/2$；相交：$7/6<m<7/2$。比较 $d=\sqrt{m^2-4m+8}$ 与 $|m-1|,m+1$。

$(x-\frac{24}{5})^2+(y+\frac{18}{5})^2=1$。新圆心沿原点到切点方向再延伸 $1$。

$\sqrt{10}$。相减得弦所在直线 $3x-y+1=0$，再用半弦长公式。

A

B

A

$m\in(-\frac{12}{5},-\frac25)\cup(0,2)$。

$a=-2$。

$2x-y+5=0$。

$3x-y-9=0$。

$3$。

$\sqrt{23}$。前两圆相减得 $x+y=1$，该直线到 $(1,1)$ 的距离为 $1/\sqrt2$。

$6x-2y-5=0$。两圆半径均为 $\sqrt5$，对称轴是圆心 $(1,-1),(1/10,-7/10)$ 连线的垂直平分线。

$a\le-\sqrt3$ 或 $a\ge\sqrt3$。要求 $AC=\sqrt{1+a^2}\ge2$。

按扫描中可辨的 $MN=\sqrt5$：$11x\pm\sqrt{583}\,y+9=0$。接触弦为 $x-ay+a^2-4=0$，结合 $MN^2=16-64/(1+a^2)$ 得 $a^2=53/11$。

$4$。

(1) 圆心轨迹 $(x+1)^2+2y+4=0$；(2) $(x+1)^2+(y+2)^2=5$。公共弦过 $N$ 的圆心 $(-1,-1)$，相减代入得 $m^2+2m+2n+5=0$；$r_M^2=n^2+1$ 在 $n=-2,m=-1$ 时最小。