2.2(2)：椭圆的性质（1） | 简略解析

长轴 $10$，短轴 $6$，$e=4/5$；焦点 $(\pm4,0)$；顶点 $(\pm5,0),(0,\pm3)$。化为 $x^2/25+y^2/9=1$ 即得。

$x^2/2+y^2=1$。$c=1$ 且 $b=c$，所以 $a^2=2$。

$\frac{\sqrt2}{2}<e<1$。两焦半径内积 $b^2-c^2<0$，即 $2c^2>a^2$。

(1) $x^2/4+y^2/3=1$ 或 $x^2/3+y^2/4=1$；(2) $S=\sqrt3$。由 $a=2,c=1,b^2=3$ 及 $S=b^2\tan(\theta/2)$。

长轴 $4$、短轴 $2\sqrt3$、$e=1/2$；焦点 $(\pm1,0)$；顶点 $(\pm2,0),(0,\pm\sqrt3)$。

长轴 $10$、短轴 $4$、$e=\sqrt{21}/5$；焦点 $(0,\pm\sqrt{21})$；顶点 $(\pm2,0),(0,\pm5)$。

(1) $x^2/16+y^2/12=1$；(2) $5x^2+3y^2=30$。两组均为第二条，因为离心率更小。

$x^2/3+y^2=1$。由 $a^2=3b^2$、$a^2-b^2=2$。

$5$；$6$。

$(0,\pm5)$。

$x^2/9+y^2=1$ 或 $x^2/9+y^2/81=1$。

$x^2/12+y^2/3=1$。

$(\pm\sqrt2,0)$。

$10$；$2$。

$x^2/9+y^2/16=1$。

$x^2/68+y^2/17=1$ 或 $x^2/8+y^2/32=1$。

B

(1) $3\sqrt3$；(2) $90^\circ$。使用 $S=b^2\tan(\theta/2)=9\tan(\theta/2)$。

$x^2/16+y^2/7=1$。到 $(-3,0),(3,0)$ 的距离和为 $8$。

$x^2/36+y^2/16=1$，去掉 $(\pm6,0)$。由 $y^2/(x^2-36)=-4/9$。

$x^2/9+4y^2/5=1$。中点坐标为 $(x_P,y_P/2)$。

$e=\sqrt5/3$。设切点为 $M$，由 $OM\perp PF$ 且 $PM=MF$ 得 $OP=OF=c$；结合 $OM=b$ 和椭圆方程得 $5b^2=4c^2$，故 $e^2=c^2/(b^2+c^2)=5/9$。