2.2(3)：椭圆的性质（2） | 简略解析

$b=\pm5\sqrt{13}$。判别式 $\Delta=12(325-b^2)=0$。

$-5\sqrt{13}<b<5\sqrt{13}$，由 $\Delta>0$。

$|b|>5\sqrt{13}$，由 $\Delta<0$。

$b=\pm18$。弦长平方为 $60(325-b^2)/169$。

$y=-x/4$，$|x|<4/\sqrt5$。两端点方程相减得中点满足 $x+4y=0$，且须在椭圆内。

$x_0=\pm5\sqrt7/4$。由 $x_0^2+y^2=c^2=16$ 与椭圆联立。

$-5\sqrt7/4<x_0<5\sqrt7/4$，由 $x_0^2+y^2<16$。

以轨道中心为原点、长轴为 $x$ 轴，$a=7783,c=972,b\approx7722$ km。轨道约为 $x^2/7783^2+y^2/7722^2=1$。

最大值 $10$，最小值 $2$，即 $a\pm c=6\pm4$。

$40$。由 $(r_1+r_2)^2=4a^2$、$r_1^2+r_2^2=4c^2$ 得 $r_1r_2=2b^2$。

$m<-1/2$ 或 $m>1/2$。截距须满足 $4<4m^2+3$。

$k\in(-\infty,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,+\infty)$

$b\in[-\sqrt6,\sqrt6]$

$b=\pm5\sqrt{119}/6$

$y=3x/2,\quad -\sqrt2<x<\sqrt2$

$m\ge1,\quad m\ne5$

$\sqrt2$

B

$(-9/5,1/5)$。椭圆为 $x^2/9+y^2=1$，代入直线并用韦达定理。

椭圆 $x^2/16+y^2/12=1$。由 $4[(x-2)^2+y^2]=(x-8)^2$ 化简。

以 $10^8$ km 为单位，$a=5.875,c=1.175$，故 $x^2/34.516+y^2/33.135=1$（分母保留三位小数，按题面数据计算）。

$(2x-3)^2+8y^2=1$。中点为 $(x,y)$ 时，$P=(2x-3,2y)$。

$2\sqrt2-\sqrt3/2$。椭圆上 $\max(x-y)=\sqrt{3/2}$。

$x^2/4+y^2=1$。中点为 $(1,1/2)$，端点为 $(0,1),(2,0)$。

$x^2+y^2/9=1$。$a=c/e=3,b^2=1$。

存在。中点 $(-1/2,y_0)$ 满足 $|y_0|<3\sqrt3/2$，弦斜率 $k=9/(2y_0)$，故 $\alpha\in(\pi/3,\pi/2)\cup(\pi/2,2\pi/3)$。这里“被直线平分”指与该直线交于唯一中点；若仅要求中点在该直线上，则还包括 $\alpha=\pi/2$。