2.3(2)：双曲线的性质（1） | 简略解析

化为 $x^2/9-y^2/16=1$；顶点 $(\pm3,0)$，焦点 $(\pm5,0)$，$e=5/3$，渐近线 $y=\pm4x/3$。

$y^2/5-x^2/20=1$。设 $x^2-4y^2=\lambda$，代入得 $\lambda=-20$。

$2b=a$。焦点在 $x$ 轴时 $y=\pm x/2$；在 $y$ 轴时 $y=\pm2x$。

$a=4,b=3,e=5/4$；焦点 $(\pm5,0)$，顶点 $(\pm4,0)$，渐近线 $y=\pm3x/4$。

$a=2,b=\sqrt3,e=\sqrt7/2$；焦点 $(0,\pm\sqrt7)$，顶点 $(0,\pm2)$，渐近线 $y=\pm2x/\sqrt3$。

A

是。四点为 $(\pm3,0),(0,\pm3)$，都在 $x^2+y^2=9$ 上。

$y^2/18-x^2/18=1$

$(\pm2\sqrt3,0)$；$y=\pm\sqrt2x$

$x^2/9-y^2/16=1$

$2\sqrt{-k}\quad(k<0)$

$x^2/3-y^2/12=1$

A

$x^2-y^2/9=1$ 或 $y^2/81-x^2/9=1$。由 $b=3$，分别考虑横、纵焦点。

$x^2/3-y^2/5=1$。$a^2=8-5=3,c^2=8$。

$y^2/16-x^2/9=1$。代入两点解得 $a^2=16,b^2=9$。

$(r_1-r_2)^2=36$，故 $r_1^2+r_2^2=36+64=100=(2c)^2$，由勾股定理逆定理得证。

$y=\pm\sqrt2x$。半弦长 $4/a=2c/\sqrt3$，所以 $a^2(a^2+4)=12$，得 $a^2=2$。

以 $A,B$ 为焦点、靠近 $B$ 的双曲线一支（距离差小于 $AB$ 时）。

取 $A=(-400,0),B=(400,0)$；$PA-PB=680$，故 $x^2/115600-y^2/44400=1,x\ge340$。

$x^2-y^2=1$。设 $C:x^2-y^2/b^2=1$、$P=(u,v)$，垂心为 $(u,-v/b^2)$；代回得 $b^4=1$，故 $b=1$。