2.3(3)：双曲线的性质（2） | 简略解析

两点：$|k|<1$；一点：不存在；零点：$|k|\ge1$。代入得 $(1-k^2)x^2=1$。

$8\sqrt2/3$。联立得 $3x^2-2x-5=0$，两根为 $-1,5/3$。

取最细处中心为原点、竖直方向为 $y$ 轴。$a=12$，$b=660/(5+\sqrt{481})\approx24.5$ m，故 $x^2/12^2-y^2/24.5^2\approx1$。上、下口分别约在 $y=10.2,-44.8$ m。

$k<-1/\sqrt3$ 或 $k>1/\sqrt3$。代入 $y=k(x-2)$，两根同正要求 $3k^2>1$；另有斜率不存在的竖直弦。

$(x-1)^2-3y^2=1,x\ge2$。点差法得 $x=3ky$，再与 $y=k(x-2)$ 消去 $k$；$(2,0)$ 对应竖直弦。

$x^2/25-y^2/3=1$。$a=5$，代入点得 $b^2=3$。

$x^2/16-y^2/9=1$。$b/a=3/4,a^2+b^2=25$。

$x^2/a^2-y^2/b^2=\lambda,\lambda>0$。正的常数决定大小而不改变渐近线。

$|y|\ge a$；关于两坐标轴、原点对称；顶点 $(0,\pm a)$，焦点 $(0,\pm c)$，$c^2=a^2+b^2$；实、虚轴长 $2a,2b$；$e=c/a>1$；渐近线 $y=\pm ax/b$。

取焦点 $(c,0)$、渐近线 $bx-ay=0$，距离 $d=bc/\sqrt{a^2+b^2}=b$。纵轴情形同理。

$x-y+1=0$

$(5/4,-3/4)$

$2\sqrt{26}$

$x^2-4y^2=1$

D

B

$a\in(0,1)\cup(1,\sqrt2)$。联立后首项不为零且 $\Delta=4a^2(2-a^2)>0$。

$a=17/13$。令两横坐标为 $5t,12t$，韦达定理给出 $17t=60t^2=-2a^2/(1-a^2)$。

$|a|<\sqrt6,\ a\ne\pm\sqrt3$。联立得 $(3-a^2)x^2-2ax-2=0$，判别式 $24-4a^2>0$。

$a=\pm1$。$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(1-a^2)/(3-a^2)=0$。

锐角正切为 $4/3$。由 $-n/(m+n)=-1/3$ 得 $m=2n$，两渐近线斜率为 $\pm2$，故 $\tan\theta=|4/(1-4)|$。

$-2<k<-\sqrt2$。联立后要求 $\Delta>0$、两根之和和积均为正。

能，$k=-(6+\sqrt6)/5$。令 $F=(\sqrt6/2,0)$，由 $\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB}=0$ 得 $5k^2+2\sqrt6k-6=0$，保留范围内的根。

$k=\sqrt3-1$。中点条件给 $k/(2-k^2)=1/2$，再用判别式排除 $-1-\sqrt3$。

$b\in(-\infty,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,+\infty)$。中点条件给 $b=k/2+1/k$，两交点要求 $0<k^2<2$，据此求值域。