2.5：直线与圆锥曲线的位置关系 | 简略解析

$3x+4\sqrt3y=24$。代入切线公式 $\frac{xx_0}{16}+\frac{yy_0}{9}=1$ 即得。

$\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$。

由 $y_0^2=b^2(1-x_0^2/a^2)$，得 $|PF_2|^2=(x_0-c)^2+y_0^2=(a-\frac ca x_0)^2$。因 $|x_0|\le a$，故 $|PF_2|=a-\frac ca x_0$；同理 $|PF_1|=a+\frac ca x_0$。

$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}-y^2=1$。共轴给出 $e_1e_2=\frac{\sqrt{(9+b^2)(9-b^2)}}9$，所以 $b^4=1$，即 $b=1$。

$P=(-3,0)$ 或 $(6,\pm\sqrt3)$。设 $P=(x,y)$，则 $Q=(\frac{3-x}{2},-\frac y2)$；联立 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$ 与 $\frac{(3-x)^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$，得 $(x-6)(x+3)=0$。

C。

$5x-4y=16$。代入 $\frac{xx_0}{16}-\frac{yy_0}{9}=1$ 即得。

$\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

$y=x+1$。由切线公式 $yy_0=2(x+x_0)$ 得 $2y=2(x+1)$。

$yy_0=p(x+x_0)$。

由 $y_0^2=b^2(x_0^2/a^2-1)$，得 $|PF_2|^2=(x_0-c)^2+y_0^2=(\frac ca x_0-a)^2$。因 $x_0\ge a$，故 $|PF_2|=\frac ca x_0-a$；同理 $|PF_1|=\frac ca x_0+a$。

$\displaystyle\frac{2\sqrt5}{5}$。

$4x+3y=7$。

$\displaystyle\frac{7\sqrt2}{4}$。

$\displaystyle a\in\left(\frac94,64\right)$。

$\displaystyle\frac83$。

$[-\sqrt{21},\sqrt{21}]$。

$k_{NA}+k_{NB}=2$。设 $A=(u^2,2u),B=(v^2,2v)$，弦 $AB$ 的方程为 $2x-(u+v)y+2uv=0$。代入 $(-1,0)$ 得 $uv=1$，故 $\frac2{u+1}+\frac2{v+1}=2$。

$\displaystyle P\left(\frac23,\frac{2\sqrt6}{3}\right)$。

$\displaystyle\left[-\frac32,\frac32\right]$。

$\displaystyle P\left(\frac{23}{11},\frac{15}{22}\right)$。

$8$。

恒过定点 $(5,-2)$。由 $m=1$，设 $D=(u^2,2u),E=(v^2,2v)$，垂直条件给 $(u+1)(v+1)=-4$。令 $s=u+v$，则 $uv=-s-5$，弦 $DE$ 的方程化为 $2(x-5)-s(y+2)=0$。

$|AB|\in[3,4]$。设直线与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，焦点弦长 $|AB|=\frac{12}{4-\cos^2\theta}$，由 $0\le\cos^2\theta\le1$ 即得。

D（①③④）。

设反射点为 $P(x_0,y_0)$，$d=|FP|=x_0+\frac p2$。入射单位向量为 $\boldsymbol i=\frac1d(x_0-\frac p2,y_0)$，法向量取 $\boldsymbol n=(p,-y_0)$。由 $y_0^2=2px_0$ 得 $\boldsymbol i\cdot\boldsymbol n=-p$、$\boldsymbol n\cdot\boldsymbol n=2pd$，故反射方向 $\boldsymbol r=\boldsymbol i-2\frac{\boldsymbol i\cdot\boldsymbol n}{\boldsymbol n\cdot\boldsymbol n}\boldsymbol n=(1,0)$，结论成立。