Maths

圆、椭圆和双曲线的切线公式里，有一个很容易观察到的规律：把平方项中的一个变量换成切点的坐标，二次方程就变成了切线方程。但为什么这样换恰好有效？抛物线里还有一次项，一般二次曲线里还有交叉项，它们又该怎么处理？我想从圆开始，一步步把这个规律推出来。 ...

做椭圆题时，我有时会先停一下：如果把这个椭圆压成一个圆，问题会不会简单一些？圆有许多直观的几何性质，切线、半径、弦中点之间的关系一眼就能看出来。通过适当的坐标伸缩，这些性质也能帮助我们处理椭圆问题。 ...

高中物理告诉我们，简谐运动的位移是正弦函数。但课本从来没解释「为什么」——它总是先假设 $x(t)=\sin$ 之类的解，代进方程验证成立，就算完事。这是一个拿未知去凑已知的过程，总让我觉得不踏实。 于是我决定反过来做：只以胡克定律这一条公理为起点，一点一点分析速度的变化，看看能不能从已知推出未知，最终自己长出那个正弦（或余弦）来。这篇文章记录了我的两次尝试——第一次用无穷细分硬算，第二次用矩阵和几何，从繁到简，最后竟然和欧拉公式撞了个满怀。 ...